前言：

　　裂區(qū)實驗設(shè)計（split-plot design）是由費雪爵士（Sir Ronald Aylmer Fisher）所發(fā)明，起初運用于農(nóng)業(yè)實驗，然而許多工業(yè)實驗在實務(wù)上也是以裂區(qū)實驗設(shè)計的方式進(jìn)行，卻被誤認(rèn)為是完全隨機(jī)實驗（completely randomized experiment），因而作了錯誤的資料分析。

　　當(dāng)工業(yè)實驗面臨特定實驗因子水準(zhǔn)不易改變或受限于經(jīng)濟(jì)效益之考量（如批量的大小），通常無法進(jìn)行完全隨機(jī)實驗，也就是實驗者必須遷就現(xiàn)實，“刻意”配置實驗因子組合的方式，讓不易改變的實驗因子其改變水準(zhǔn)的次數(shù)最少化。在這種隨機(jī)限制（restriction on randomization）的情況下，就必須以裂區(qū)實驗的架構(gòu)進(jìn)行實驗，也就要能清楚分辨哪些是屬于全區(qū)因子（whole-plot factors），哪些是屬于副區(qū)因子（sub-plot factors），如此才能避免不正確的分析結(jié)果。

　　近年來雖然有多位統(tǒng)計專家針對裂區(qū)實驗發(fā)表許多新的應(yīng)用與解析手法，但在工業(yè)實驗方面仍然尚未受到應(yīng)有的重視與了解，本文就先以簡單且典型的例子（1），也就是實驗配置中包含一個不容易變更水準(zhǔn)的實驗因子和一個容易變更水準(zhǔn)的實驗因子，來說明裂區(qū)實驗的本質(zhì)以及如何正確的進(jìn)行裂區(qū)實驗變異數(shù)分析（ANOVA）。

認(rèn)識裂區(qū)實驗設(shè)計（split-plot design）：

　　以多層陶瓷電容器（Multilayer Ceramic Capacitors）為例，欲探討燒結(jié)爐溫度變化（1300°C、1400°C、1500°C）與內(nèi)部電極不同印刷方法（P1、P2、P3、P4）對電容值的影響程度，因為改變燒結(jié)爐溫度設(shè)定并達(dá)到爐內(nèi)溫度均衡相當(dāng)不容易，因此溫度水準(zhǔn)變化先採取逐漸升溫，再逐漸降溫的方式安排，無法採取完全隨機(jī)的方式進(jìn)行溫度設(shè)定，而當(dāng)每一次爐溫達(dá)到設(shè)定之實驗溫度時，則將不同印刷方式的陶瓷電容器同時隨機(jī)放置于燒結(jié)爐內(nèi)不同的位置，實驗配置與執(zhí)行情形，如表一。

　　此類型因為隨機(jī)限制所導(dǎo)致的實驗配置稱為裂區(qū)設(shè)計。因此，裂區(qū)實驗設(shè)計事實上包含兩種實驗單位（experimental units），也就是全區(qū)（whole plot）與副區(qū)（sub plot），從表一得知，六次重新設(shè)定（reset）不同溫度的燒結(jié)爐稱為全區(qū)實驗單位，而爐內(nèi)四個不同的位置則稱為副區(qū)實驗單位。燒結(jié)爐溫度因為不易變更設(shè)定，所以無法與不同的印刷方式做完全隨機(jī)的實驗配置，而有隨機(jī)上的限制，因此安排為全區(qū)因子（whole-plot factors）；而不同的印刷方式則可以輕易的，完全隨機(jī)的放置于燒結(jié)爐內(nèi)不同的位置，所以安排為副區(qū)因子（sub-plot factors）。

　　乍看之下，表一的實驗配置情形似乎與“完全隨機(jī)實驗”沒有兩樣，但注意如果按照“完全隨機(jī)實驗”的原則，每一種燒結(jié)爐溫度必須針對每一種印刷方式重新設(shè)定（reset）調(diào)溫，如此相同的實驗規(guī)模，則必須進(jìn)行24次燒結(jié)爐的溫度重新設(shè)定。然而，若是按照裂區(qū)實驗設(shè)計，僅須進(jìn)行6次燒結(jié)爐的溫度重新設(shè)定，每一次爐溫達(dá)到設(shè)定之實驗溫度時，再同時將四種印刷方式的陶瓷電容器一起隨機(jī)放置于爐內(nèi)不同的位置。但也因為實驗配置與進(jìn)行的方式不同，“裂區(qū)實驗”與“完全隨機(jī)實驗”的變異數(shù)分析方式也就不同。

分析裂區(qū)實驗設(shè)計：

　　從燒結(jié)爐加熱技術(shù)而言，因為燒結(jié)爐溫度重新設(shè)定所產(chǎn)生的實驗誤差（全區(qū)實驗誤差）將遠(yuǎn)大于爐內(nèi)不同位置所產(chǎn)生的實驗誤差（副區(qū)實驗誤差），所以必須分別推估兩種實驗單位所對應(yīng)產(chǎn)生的實驗誤差，才能正確檢定出全區(qū)因子、副區(qū)因子或是兩者之間的交互作用是否有顯著的實驗效應(yīng)。

　　因此，必須先將習(xí)慣的“完全隨機(jī)實驗”的變異數(shù)分析分解成全區(qū)與副區(qū)兩部份，分別探討其不同的變異來源（sources of variation）并計算其變異。全區(qū)部份的變異數(shù)分析，如表二，包含溫度水準(zhǔn)重新設(shè)定所產(chǎn)生的變異來源與重覆三種不同溫度設(shè)定所產(chǎn)生的全區(qū)實驗誤差（whole-plot error）。

　　副區(qū)部份的變異數(shù)分析，如表三，則包含四種不同印刷方法所產(chǎn)生的變異來源，溫度與印刷方法之交互作用所產(chǎn)生的變異來源，和四種不同印刷方法在重覆三種不同溫度設(shè)定下所產(chǎn)生的副區(qū)實驗誤差（sub-plot error）。 

　　全區(qū)部份的變異數(shù)分析，因為燒結(jié)爐溫度重新設(shè)定所產(chǎn)生的全區(qū)實驗誤差偏大，自由度也偏低，因此造成統(tǒng)計檢定力（power of a statistical test）相對偏低。但本實驗之主要目的在比較不同的印刷方法對電容值是否有顯著影響，以及印刷方法與溫度之間是否存在顯著的交互作用，所以副區(qū)部份的變異數(shù)分析因為副區(qū)實驗誤差相對小，且有相對適當(dāng)?shù)淖杂啥龋呀?jīng)擁有足夠的統(tǒng)計檢定力來檢出不同的印刷方法和印刷與溫度之間交互作用的顯著實驗效應(yīng)。

　　本例之裂區(qū)實驗設(shè)計變異數(shù)分析中的平方和（Sum of Squares）、自由度（degree of freedom）與均方（Mean Square）的計算方法與一般“完全隨機(jī)實驗”完全相同，但是要特別注意，因為有兩個不同的實驗誤差來源，也就是全區(qū)實驗誤差和副區(qū)實驗誤差，所以必須將變異數(shù)分析分解成全區(qū)與副區(qū)兩部份。如果未注意此現(xiàn)象，而採取完全隨機(jī)實驗的方式，進(jìn)行單一實驗誤差的變異數(shù)分析，將造成不正確的分析結(jié)果，如表四。

 

結(jié)語

　　在工業(yè)實驗的領(lǐng)域中，難免會遇到不易變化實驗水準(zhǔn)的因子，此時裂區(qū)實驗設(shè)計就是可以考慮的另一種選擇，因此認(rèn)知“裂區(qū)實驗設(shè)計”與“完全隨機(jī)實驗”在隨機(jī)限制上的差異和變異數(shù)分析過程的不同，對實驗者是有其必要性。

　　從實驗成本的角度，每變更一次實驗因子的水準(zhǔn)必然多產(chǎn)生一筆實驗成本，以本例而言，燒結(jié)爐溫度（全區(qū)因子）僅須重新設(shè)定溫度6次，不必像“完全隨機(jī)實驗”必須進(jìn)行24次的溫度重新設(shè)定，因此進(jìn)行“裂區(qū)實驗設(shè)計”會比相同規(guī)模的“完全隨機(jī)實驗”節(jié)省許多實驗成本。

　　但裂區(qū)實驗設(shè)計會產(chǎn)生“全區(qū)”和“副區(qū)”兩種實驗誤差，若誤以完全隨機(jī)實驗的方式進(jìn)行變異數(shù)分析，對全區(qū)因子而言，將造成型I錯誤（type I error）的增加，對副區(qū)因子而言，將造成型II錯誤（type II error）的增加，如表五。所以要切記將變異數(shù)分析區(qū)分成“全區(qū)”和“副區(qū)”兩大部分，才能同時確保裂區(qū)實驗設(shè)計的實驗成本優(yōu)勢與準(zhǔn)確的統(tǒng)計檢定結(jié)果。

 

參考文獻(xiàn)

1. Box. G.; Hunter. W.; and Hunter. S.﹙2005﹚. Statistics for Experimenters: Design, Innovation, and Discovery, 2nd edition. New York, NY: Wiley-Inerscience.